حل ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

ارزیابی

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

مراحل راه‌حل

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. -a-1 بار \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

از آنجا که \frac{2a+10}{a+1} و \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} دارای مخرج مشترک هستند، با افزودن صورت کسرها آنها را جمع کنید.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

عمل ضرب را در 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right) انجام دهید.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

جملات با متغیر یکسان را در 2a+10-a^{2}-a-a-1 ترکیب کنید.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} را بر \frac{9-a^{2}}{a+1} با ضرب \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} در معکوس \frac{9-a^{2}}{a+1} تقسیم کنید.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

عباراتی که قبلاً از آنها فاکتور گرفته نشده‌اند، در \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)} فاکتور گرفته شوند.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\left(a-3\right)\left(a+1\right) را هم در صورت و هم مخرج ساده کنید.

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. کوچک‌ترین مضرب مشترک \left(-a-3\right)\left(a+6\right) و a+3، \left(a+3\right)\left(a+6\right) است. \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} بار \frac{-1}{-1}. \frac{1}{a+3} بار \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

از آنجا که \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} و \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} دارای مخرج مشترک هستند، با افزودن صورت کسرها آنها را جمع کنید.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

عمل ضرب را در -\left(a-2\right)+a+6 انجام دهید.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

جملات با متغیر یکسان را در -a+2+a+6 ترکیب کنید.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} را در \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} ضرب کنید.

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

2 را هم در صورت و هم مخرج ساده کنید.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

عباراتی که قبلاً از آنها فاکتور گرفته نشده‌اند، در \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}} فاکتور گرفته شوند.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

a+3 را هم در صورت و هم مخرج ساده کنید.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 2a-1 استفاده کنید.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب a+6 در a^{2} استفاده کنید.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} را بگیرید.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

ساده کنید.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$