حل d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

ارزیابی

$$\cos(x)$$

مراحل استفاده از تعریف یک مشتق

برای یک تابع f\left(x\right)، مشتق حد \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} است که h به 0 می‌رود، البته در صورتی که آن حد وجود داشته باشد.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

از فرمول جمع برای سینوس استفاده کنید.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

\sin(x) را فاکتور بگیرید.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

حد را بازنویسی کنید.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

از این واقعیت استفاده کنید که x در زمان محاسبه حدهابه عنوان h به 0 می‌رود، یک مقدار ثابت است.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

حد \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} برابر است با 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

برای ارزیابی حد، \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}، ابتدا صورت کسر و مخرج را در \cos(h)+1 ضرب کنید.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 بار \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

از اتحاد فیثاغورس استفاده کنید.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

حد را بازنویسی کنید.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

حد \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} برابر است با 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

از این واقعیت استفاده کنید که \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} در 0 پیوسته است.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

مقدار 0 را در عبارت \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x) جایگزین کنید.

$$\cos(x)$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$-\sin(x)$$