حل x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

برای x،y حل کنید

$$x=14$$

$$y=9$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 21، کوچکترین مضرب مشترک 7,3، ضرب شود.

$$3x+7y=105$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 14 ضرب کنید.

$$-x+42y=364$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$3x+7y=105$$

7y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-7y+105$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

\frac{1}{3} بار -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

-\frac{7y}{3}+35 را با x در معادله جایگزین کنید، -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-1 بار -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

\frac{7y}{3} را به 42y اضافه کنید.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

35 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{133}{3}y=399$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{133}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=9$$

9 را با y در x=-\frac{7}{3}y+35 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

-\frac{7}{3} بار 9.

$$x=-21+35$$

35 را به -21 اضافه کنید.

$$x=14$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=14,y=9$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 21، کوچکترین مضرب مشترک 7,3، ضرب شود.

$$3x+7y=105$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 14 ضرب کنید.

$$-x+42y=364$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=14,y=9$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 21، کوچکترین مضرب مشترک 7,3، ضرب شود.

$$3x+7y=105$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 14 ضرب کنید.

$$-x+42y=364$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

برای مساوی کردن 3x و -x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -1 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

ساده کنید.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

-3x+126y=1092 را از -3x-7y=-105 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

-3x را به 3x اضافه کنید. عبارت‌های -3x و 3x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-7y را به -126y اضافه کنید.

$$-133y=-105-1092$$

-105 را به -1092 اضافه کنید.

$$-133y=-1197$$

هر دو طرف بر -133 تقسیم شوند.

$$y=9$$

9 را با y در -x+42y=364 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-x+42\times 9=364$$

42 بار 9.

$$-x+378=364$$

378 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-x=-14$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$x=14$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=14,y=9$$