حل frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

برای k حل کنید

$$k=-1$$

$$k=1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

هر دو سوی معادله در 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}، کوچکترین مضرب مشترک \left(3k^{2}+1\right)^{2},4، ضرب شود.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(k^{2}+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 6 در k^{4}+2k^{2}+1 استفاده کنید.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3k^{2}-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

برای پیدا کردن متضاد 9k^{4}-6k^{2}+1، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

6k^{4} و -9k^{4} را برای به دست آوردن -3k^{4} ترکیب کنید.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

12k^{2} و 6k^{2} را برای به دست آوردن 18k^{2} ترکیب کنید.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

تفریق 1 را از 6 برای به دست آوردن 5 تفریق کنید.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در -3k^{4}+18k^{2}+5 استفاده کنید.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(3k^{2}+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در 9k^{4}+6k^{2}+1 استفاده کنید.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

45k^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

-12k^{4} و -45k^{4} را برای به دست آوردن -57k^{4} ترکیب کنید.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

30k^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

72k^{2} و -30k^{2} را برای به دست آوردن 42k^{2} ترکیب کنید.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

5 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

تفریق 5 را از 20 برای به دست آوردن 15 تفریق کنید.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

t به جای k^{2} جایگزین شود.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم -57 را با a، 42 را با b، و 15 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

معادله t=\frac{-42±72}{-114} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

از آنجا که k=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی k=±\sqrt{t} برای هر t مثبت به دست می‌آید.

$$k=1 k=-1$$

برای k حل کنید (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0.512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0.512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$