حل 2x/x^2+1=7/25

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } = \frac { 7 } { 25 }$$

برای x حل کنید

$$x=7$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو سوی معادله در 25\left(x^{2}+1\right)، کوچکترین مضرب مشترک x^{2}+1,25، ضرب شود.

$$25\times 2x=7\left(x^{2}+1\right)$$

25 و 2 را برای دستیابی به 50 ضرب کنید.

$$50x=7\left(x^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 7 در x^{2}+1 استفاده کنید.

$$50x=7x^{2}+7$$

7x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50x-7x^{2}=7$$

7 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50x-7x^{2}-7=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-7x^{2}+50x-7=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -7x^{2}+ax+bx-7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=50 ab=-7\left(-7\right)=49$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 49 است فهرست کنید.

$$1,49 7,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+49=50 7+7=14$$

جواب زوجی است که مجموع آن 50 است.

$$a=49 b=1$$

-7x^{2}+50x-7 را به‌عنوان \left(-7x^{2}+49x\right)+\left(x-7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-7x^{2}+49x\right)+\left(x-7\right)$$

در گروه اول از 7x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$7x\left(-x+7\right)-\left(-x+7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+7 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+7\right)\left(7x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+7=0 و 7x-1=0 را حل کنید.

$$x=7 x=\frac{1}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

هر دو سوی معادله در 25\left(x^{2}+1\right)، کوچکترین مضرب مشترک x^{2}+1,25، ضرب شود.

$$25\times 2x=7\left(x^{2}+1\right)$$

25 و 2 را برای دستیابی به 50 ضرب کنید.

$$50x=7\left(x^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 7 در x^{2}+1 استفاده کنید.

$$50x=7x^{2}+7$$

7x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50x-7x^{2}=7$$

7 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50x-7x^{2}-7=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-7x^{2}+50x-7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -7 را با a، 50 را با b و -7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-7\right)\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

50 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-7\right)\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

-4 بار -7.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+28\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

28 بار -7.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-196}}{2\left(-7\right)}$$

2500 را به -196 اضافه کنید.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2304}}{2\left(-7\right)}$$

ریشه دوم 2304 را به دست آورید.

$$x=\frac{-50±48}{2\left(-7\right)}$$

2 بار -7.

$$x=\frac{-50±48}{-14}$$

اکنون معادله x=\frac{-50±48}{-14} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -50 را به 48 اضافه کنید.

$$x=-\frac{2}{-14}$$

کسر \frac{-2}{-14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{7}$$

اکنون معادله x=\frac{-50±48}{-14} وقتی که ± منفی است حل کنید. 48 را از -50 تفریق کنید.

$$x=-\frac{98}{-14}$$

-98 را بر -14 تقسیم کنید.

$$x=7$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{7} x=7$$

مراحل برای تکمیل مربع

هر دو سوی معادله در 25\left(x^{2}+1\right)، کوچکترین مضرب مشترک x^{2}+1,25، ضرب شود.

$$25\times 2x=7\left(x^{2}+1\right)$$

25 و 2 را برای دستیابی به 50 ضرب کنید.

$$50x=7\left(x^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 7 در x^{2}+1 استفاده کنید.

$$50x=7x^{2}+7$$

7x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50x-7x^{2}=7$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-7x^{2}+50x=7$$

هر دو طرف بر -7 تقسیم شوند.

$$\frac{-7x^{2}+50x}{-7}=\frac{7}{-7}$$

تقسیم بر -7، ضرب در -7 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{50}{-7}x=\frac{7}{-7}$$

50 را بر -7 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x=\frac{7}{-7}$$

7 را بر -7 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x=-1$$

-\frac{50}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{25}{7} شود. سپس مجذور -\frac{25}{7} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x+\left(-\frac{25}{7}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{25}{7}\right)^{2}$$

-\frac{25}{7} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x+\frac{625}{49}=-1+\frac{625}{49}$$

-1 را به \frac{625}{49} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x+\frac{625}{49}=\frac{576}{49}$$

عامل x^{2}-\frac{50}{7}x+\frac{625}{49}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{25}{7}\right)^{2}=\frac{576}{49}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{576}{49}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{25}{7}=\frac{24}{7} x-\frac{25}{7}=-\frac{24}{7}$$

\frac{25}{7} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=7 x=\frac{1}{7}$$