حل 1000/x-1000/x+5=10

$$\frac { 1000 } { x } - \frac { 1000 } { x + 5 } = 10$$

برای x حل کنید

$$x=-25$$

$$x=20$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -5,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در x\left(x+5\right)، کوچکترین مضرب مشترک x,x+5، ضرب شود.

$$\left(x+5\right)\times 1000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x+5 در 1000 استفاده کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 10x در x+5 استفاده کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x^{2}+50x$$

10x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}=50x$$

50x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}-50x=0$$

1000x و -50x را برای به دست آوردن 950x ترکیب کنید.

$$950x+5000-x\times 1000-10x^{2}=0$$

-1 و 1000 را برای دستیابی به -1000 ضرب کنید.

$$950x+5000-1000x-10x^{2}=0$$

950x و -1000x را برای به دست آوردن -50x ترکیب کنید.

$$-50x+5000-10x^{2}=0$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$-5x+500-x^{2}=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-x^{2}-5x+500=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx+500 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=-500=-500$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -500 است فهرست کنید.

$$1,-500 2,-250 4,-125 5,-100 10,-50 20,-25$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-500=-499 2-250=-248 4-125=-121 5-100=-95 10-50=-40 20-25=-5$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=20 b=-25$$

-x^{2}-5x+500 را به‌عنوان \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-25x+500\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-25x+500\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 25 فاکتور بگیرید.

$$x\left(-x+20\right)+25\left(-x+20\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+20 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+20\right)\left(x+25\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+20=0 و x+25=0 را حل کنید.

$$x=20 x=-25$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -5,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در x\left(x+5\right)، کوچکترین مضرب مشترک x,x+5، ضرب شود.

$$\left(x+5\right)\times 1000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x+5 در 1000 استفاده کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 10x در x+5 استفاده کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x^{2}+50x$$

10x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}=50x$$

50x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}-50x=0$$

1000x و -50x را برای به دست آوردن 950x ترکیب کنید.

$$950x+5000-x\times 1000-10x^{2}=0$$

-1 و 1000 را برای دستیابی به -1000 ضرب کنید.

$$950x+5000-1000x-10x^{2}=0$$

950x و -1000x را برای به دست آوردن -50x ترکیب کنید.

$$-50x+5000-10x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-10x^{2}-50x+5000=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -10 را با a، -50 را با b و 5000 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-10\right)\times 5000}}{2\left(-10\right)}$$

-50 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-10\right)\times 5000}}{2\left(-10\right)}$$

-4 بار -10.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+40\times 5000}}{2\left(-10\right)}$$

40 بار 5000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+200000}}{2\left(-10\right)}$$

2500 را به 200000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{202500}}{2\left(-10\right)}$$

ریشه دوم 202500 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±450}{2\left(-10\right)}$$

متضاد -50 عبارت است از 50.

$$x=\frac{50±450}{2\left(-10\right)}$$

2 بار -10.

$$x=\frac{50±450}{-20}$$

اکنون معادله x=\frac{50±450}{-20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 50 را به 450 اضافه کنید.

$$x=\frac{500}{-20}$$

500 را بر -20 تقسیم کنید.

$$x=-25$$

اکنون معادله x=\frac{50±450}{-20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 450 را از 50 تفریق کنید.

$$x=-\frac{400}{-20}$$

-400 را بر -20 تقسیم کنید.

$$x=20$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-25 x=20$$

مراحل برای تکمیل مربع

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -5,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در x\left(x+5\right)، کوچکترین مضرب مشترک x,x+5، ضرب شود.

$$\left(x+5\right)\times 1000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x+5 در 1000 استفاده کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 10x در x+5 استفاده کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x^{2}+50x$$

10x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}=50x$$

50x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}-50x=0$$

1000x و -50x را برای به دست آوردن 950x ترکیب کنید.

$$950x+5000-x\times 1000-10x^{2}=0$$

5000 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$950x-x\times 1000-10x^{2}=-5000$$

-1 و 1000 را برای دستیابی به -1000 ضرب کنید.

$$950x-1000x-10x^{2}=-5000$$

950x و -1000x را برای به دست آوردن -50x ترکیب کنید.

$$-50x-10x^{2}=-5000$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-10x^{2}-50x=-5000$$

هر دو طرف بر -10 تقسیم شوند.

$$\frac{-10x^{2}-50x}{-10}=-\frac{5000}{-10}$$

تقسیم بر -10، ضرب در -10 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{50}{-10}\right)x=-\frac{5000}{-10}$$

-50 را بر -10 تقسیم کنید.

$$x^{2}+5x=-\frac{5000}{-10}$$

-5000 را بر -10 تقسیم کنید.

$$x^{2}+5x=500$$

5، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{2} شود. سپس مجذور \frac{5}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

\frac{5}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

500 را به \frac{25}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

عامل x^{2}+5x+\frac{25}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

\frac{5}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=20 x=-25$$