حل 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

برای x حل کنید

$$x=-1$$

مراحل راه‌حل

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -8,-5,-2,1 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)، کوچکترین مضرب مشترک x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21، ضرب شود.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 21 در x+5 استفاده کنید.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 21x+105 در x+8 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 21 در x-1 استفاده کنید.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 21x-21 در x+8 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

21x^{2} و 21x^{2} را برای به دست آوردن 42x^{2} ترکیب کنید.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

273x و 147x را برای به دست آوردن 420x ترکیب کنید.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

تفریق 168 را از 840 برای به دست آوردن 672 تفریق کنید.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 21 در x+2 استفاده کنید.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 21x+42 در x-1 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

42x^{2} و 21x^{2} را برای به دست آوردن 63x^{2} ترکیب کنید.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

420x و 21x را برای به دست آوردن 441x ترکیب کنید.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

تفریق 42 را از 672 برای به دست آوردن 630 تفریق کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 7 در x+2 استفاده کنید.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 7x+14 در x+5 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 7x^{2}+49x+70 در x+8 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

21 و -\frac{1}{21} را برای دستیابی به -1 ضرب کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -1 در x-1 استفاده کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب -x+1 در x+2 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب -x^{2}-x+2 در x+5 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب -x^{3}-6x^{2}-3x+10 در x+8 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

7x^{3} و -14x^{3} را برای به دست آوردن -7x^{3} ترکیب کنید.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

105x^{2} و -51x^{2} را برای به دست آوردن 54x^{2} ترکیب کنید.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

462x و -14x را برای به دست آوردن 448x ترکیب کنید.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

560 و 80 را برای دریافت 640 اضافه کنید.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

7x^{3} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

54x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

63x^{2} و -54x^{2} را برای به دست آوردن 9x^{2} ترکیب کنید.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

448x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

441x و -448x را برای به دست آوردن -7x ترکیب کنید.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

640 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

تفریق 640 را از 630 برای به دست آوردن -10 تفریق کنید.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

x^{4} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

معادله را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -10 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 را بر x-1 برای به دست آوردن x^{3}+8x^{2}+17x+10 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 10 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}+8x^{2}+17x+10 را بر x+1 برای به دست آوردن x^{2}+7x+10 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+7x+10=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 7 را با b، و 10 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

معادله x^{2}+7x+10=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-5 x=-2$$

مقادیری را که این متغیر نمی‌تواند با آنها برابر باشد حذف کنید.

$$x=-1$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر 1,-5,-2 برابر باشد.

$$x=-1$$