حل =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

عامل

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

مراحل راه‌حل

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -9 و q به عامل پیشگام 20 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=\frac{1}{2}$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 20x^{4}+31x^{2}-9 را بر 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 برای به دست آوردن 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 9 و q به عامل پیشگام 10 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 را بر 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 برای به دست آوردن 5x^{2}+9 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$5x^{2}+9=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 5 را با a، 0 را با b، و 9 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

از چندجمله‌ای 5x^{2}+9 فاکتور گرفته نشده زیرا هیچ ریشه گویایی ندارد.

$$5x^{2}+9$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

ارزیابی

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$