Resolver z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Ebatzi: z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ordeztu t balioa z^{3} balioarekin.

$$t^{2}-t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Ebatzi t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

z=t^{3} denez, soluzioak lortzeko, t bakoitzaren ekuazioa ebatzi behar da.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$