Resolver {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+2y=46$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-2y+46$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Ordeztu \frac{-y+23}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+3y=47).

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Egin 7 bider \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Gehitu -\frac{7y}{4} eta 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Egin ken \frac{161}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{27}{5}$$

Ordeztu \frac{27}{5} y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Egin -\frac{1}{4} bider \frac{27}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Gehitu \frac{23}{4} eta -\frac{27}{20} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{22}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Sinplifikatu.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Egin 56x+24y=376 ken 56x+14y=322 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Gehitu 56x eta -56x. Sinplifikatu egiten dira 56x eta -56x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y-24y=322-376$$

Gehitu 14y eta -24y.

$$-10y=322-376$$

Gehitu 322 eta -376.

$$-10y=-54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=\frac{27}{5}$$

Ordeztu \frac{27}{5} y balioarekin 7x+3y=47 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Egin 3 bider \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Egin ken \frac{81}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{22}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$