Resolver z^2+4z+5=0

$$z ^ { 2 } + 4 z + 5 = 0$$

Ebatzi: z

$$z=-2+i$$

$$z=-2-i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$z^{2}+4z+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5}}{2}$$

Egin 4 ber bi.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5}}{2}$$

Egin -4 bider 5.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-20}}{2}$$

Gehitu 16 eta -20.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-4}}{2}$$

Atera -4 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-4±2i}{2}$$

Orain, ebatzi z=\frac{-4±2i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 2i.

$$z=\frac{-4+2i}{2}$$

Zatitu -4+2i balioa 2 balioarekin.

$$z=-2+i$$

Orain, ebatzi z=\frac{-4±2i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i ken -4.

$$z=\frac{-4-2i}{2}$$

Zatitu -4-2i balioa 2 balioarekin.

$$z=-2-i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=-2+i z=-2-i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$z^{2}+4z+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$z^{2}+4z+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$z^{2}+4z=-5$$

Zatitu 4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}+4z+2^{2}=-5+2^{2}$$

Egin 2 ber bi.

$$z^{2}+4z+4=-5+4$$

Gehitu -5 eta 4.

$$z^{2}+4z+4=-1$$

Atera z^{2}+4z+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z+2\right)^{2}=-1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z+2\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sinplifikatu.

$$z+2=i z+2=-i$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=-2+i z=-2-i$$