Resolver z^2+2/5z+1=0

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

Ebatzi: z

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0.2+0.979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0.2-0.979795897i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, \frac{2}{5} balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

Egin \frac{2}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

Gehitu \frac{4}{25} eta -4.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

Atera -\frac{96}{25} balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

Orain, ebatzi z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -\frac{2}{5} eta \frac{4i\sqrt{6}}{5}.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

Zatitu \frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} balioa 2 balioarekin.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

Orain, ebatzi z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{4i\sqrt{6}}{5} ken -\frac{2}{5}.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

Zatitu \frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} balioa 2 balioarekin.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

Zatitu \frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{25}.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

Atera z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

Egin ken \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$