Resolver y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Ebatzi: y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-3x=2$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3x+2$$

Ordeztu 3x+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+7x=8).

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Egin -2 bider 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Gehitu -6x eta 7x.

$$x-4=8$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=12$$

Ordeztu 12 x balioarekin y=3x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=3\times 12+2$$

Egin 3 bider 12.

$$y=36+2$$

Gehitu 2 eta 36.

$$y=38$$

Ebatzi da sistema.

$$y=38,x=12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=38,x=12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Sinplifikatu.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Egin -2y+7x=8 ken -2y+6x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6x-7x=-4-8$$

Gehitu 6x eta -7x.

$$-x=-4-8$$

Gehitu -4 eta -8.

$$-x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=12$$

Ordeztu 12 x balioarekin -2y+7x=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y+7\times 12=8$$

Egin 7 bider 12.

$$-2y+84=8$$

Egin ken 84 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=38$$

Ebatzi da sistema.

$$y=38,x=12$$