Resolver y^2-5y-24=0

$$y ^ { 2 } - 5 y - 24 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=-3$$

$$y=8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu y^{2}-5y-24 formula hau erabilita: y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=-24$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=3$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(y+a\right)\left(y+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(y-8\right)\left(y+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-8=0 eta y+3=0.

$$y=8 y=-3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, y^{2}+ay+by-24 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=3$$

Berridatzi y^{2}-5y-24 honela: \left(y^{2}-8y\right)+\left(3y-24\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(3y-24\right)$$

Deskonposatu y lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$y\left(y-8\right)+3\left(y-8\right)$$

Deskonposatu y-8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-8\right)\left(y+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-8=0 eta y+3=0.

$$y=8 y=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$y^{2}-5y-24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Egin -5 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -24.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

Gehitu 25 eta 96.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$y=\frac{5±11}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{5±11}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 11.

$$y=\frac{16}{2}$$

Zatitu 16 balioa 2 balioarekin.

$$y=8$$

Orain, ebatzi y=\frac{5±11}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken 5.

$$y=-\frac{6}{2}$$

Zatitu -6 balioa 2 balioarekin.

$$y=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=8 y=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$y^{2}-5y-24=0$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y^{2}-5y-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$y^{2}-5y=-\left(-24\right)$$

Egin -24 ken 0.

$$y^{2}-5y=24$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-5y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Gehitu 24 eta \frac{25}{4}.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Atera y^{2}-5y+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=8 y=-3$$