Resolver y^2+7y-60=0

$$y ^ { 2 } + 7 y - 60 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=-12$$

$$y=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu y^{2}+7y-60 formula hau erabilita: y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=12$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(y+a\right)\left(y+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-5=0 eta y+12=0.

$$y=5 y=-12$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, y^{2}+ay+by-60 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=12$$

Berridatzi y^{2}+7y-60 honela: \left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right).

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right)$$

Deskonposatu y lehen taldean, eta 12 bigarren taldean.

$$y\left(y-5\right)+12\left(y-5\right)$$

Deskonposatu y-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-5=0 eta y+12=0.

$$y=5 y=-12$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$y^{2}+7y-60=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -60 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Egin 7 ber bi.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-60\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -60.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2}$$

Gehitu 49 eta 240.

$$y=\frac{-7±\sqrt{289}}{2}$$

Atera 289 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-7±17}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-7±17}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 17.

$$y=\frac{10}{2}$$

Zatitu 10 balioa 2 balioarekin.

$$y=5$$

Orain, ebatzi y=\frac{-7±17}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 17 ken -7.

$$y=-\frac{24}{2}$$

Zatitu -24 balioa 2 balioarekin.

$$y=-12$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=5 y=-12$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$y^{2}+7y-60=0$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y^{2}+7y-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$y^{2}+7y=-\left(-60\right)$$

Egin -60 ken 0.

$$y^{2}+7y=60$$

Zatitu 7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+7y+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Gehitu 60 eta \frac{49}{4}.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Atera y^{2}+7y+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y+\frac{7}{2}=\frac{17}{2} y+\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=5 y=-12$$