Resolver y=3x+3text{en}y=x-2

$$y = 3 x + 3 \text { en } y = x - 2$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-3x=3,y-x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-3x=3$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3x+3$$

Ordeztu 3+3x balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-x=-2).

$$3x+3-x=-2$$

Gehitu 3x eta -x.

$$2x+3=-2$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ordeztu -\frac{5}{2} x balioarekin y=3x+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=3\left(-\frac{5}{2}\right)+3$$

Egin 3 bider -\frac{5}{2}.

$$y=-\frac{15}{2}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{15}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-3x=3,y-x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 3+\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-3x=3,y-x=-2$$

Egin y-x=-2 ken y-3x=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-3x+x=3+2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3x+x=3+2$$

Gehitu -3x eta x.

$$-2x=3+2$$

Gehitu 3 eta 2.

$$-2x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ordeztu -\frac{5}{2} x balioarekin y-x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\left(-\frac{5}{2}\right)=-2$$

Egin -1 bider -\frac{5}{2}.

$$y+\frac{5}{2}=-2$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$