Resolver y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Ebatzi: y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-1$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-1$$

Ordeztu 2x-1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+2x=3).

$$2x-1+2x=3$$

Gehitu 2x eta 2x.

$$4x-1=3$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y=2x-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2-1$$

Gehitu -1 eta 2.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=1,x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Egin y+2x=3 ken y-2x=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x-2x=-1-3$$

Gehitu -2x eta -2x.

$$-4x=-1-3$$

Gehitu -1 eta -3.

$$-4x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y+2x=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+2=3$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=1$$