Resolver y=2x+3quadtext{y}quadx=2y+3

$$y = 2 x + 3 \quad \text { y } \quad x = 2 y + 3$$

Ebatzi: y, x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=3$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x+3$$

Ordeztu 2x+3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+x=3).

$$-2\left(2x+3\right)+x=3$$

Egin -2 bider 2x+3.

$$-4x-6+x=3$$

Gehitu -4x eta x.

$$-3x-6=3$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-3$$

Ordeztu -3 x balioarekin y=2x+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Egin 2 bider -3.

$$y=-6+3$$

Gehitu 3 eta -6.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\times 3,-2y+x=3$$

Sinplifikatu.

$$-2y+4x=-6,-2y+x=3$$

Egin -2y+x=3 ken -2y+4x=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2y+2y+4x-x=-6-3$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-x=-6-3$$

Gehitu 4x eta -x.

$$3x=-6-3$$

Gehitu -6 eta -3.

$$3x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-3$$

Ordeztu -3 x balioarekin -2y+x=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y-3=3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=-3$$