Resolver y=-4x-7quadtext{b}y=-x+2

$$y = - 4 x - 7 \quad \text { b } y = - x + 2$$

Ebatzi: y, x

$$x=-3$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+4x=-7$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4x-7$$

Ordeztu -4x-7 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+x=2).

$$-4x-7+x=2$$

Gehitu -4x eta x.

$$-3x-7=2$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-3$$

Ordeztu -3 x balioarekin y=-4x-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-4\left(-3\right)-7$$

Egin -4 bider -3.

$$y=12-7$$

Gehitu -7 eta 12.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{4}{1-4}\\-\frac{1}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{4}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=5,x=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=-7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Egin y+x=2 ken y+4x=-7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+4x-x=-7-2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-x=-7-2$$

Gehitu 4x eta -x.

$$3x=-7-2$$

Gehitu -7 eta -2.

$$3x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-3$$

Ordeztu -3 x balioarekin y+x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-3=2$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=-3$$