Resolver y=-3/2x;quady=-2-1/2x

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Egin ken \frac{3x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{3}{2}x$$

Ordeztu -\frac{3x}{2} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+\frac{1}{2}x=-2).

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

Gehitu -\frac{3x}{2} eta \frac{x}{2}.

$$-x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-\frac{3}{2}x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

Egin -\frac{3}{2} bider 2.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Egin y+\frac{1}{2}x=-2 ken y+\frac{3}{2}x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Gehitu \frac{3x}{2} eta -\frac{x}{2}.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y+\frac{1}{2}x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

Egin \frac{1}{2} bider 2.

$$y+1=-2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=2$$