Resolver y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Ebatzi: y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{4}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Gehitu \frac{4x}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Ordeztu \frac{-28+4x}{3} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-2x=8).

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Gehitu \frac{4x}{3} eta -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Gehitu \frac{28}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-26$$

Ordeztu -26 x balioarekin y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Egin \frac{4}{3} bider -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Gehitu -\frac{28}{3} eta -\frac{104}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-44$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-44,x=-26$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{4}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-44,x=-26$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{4}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Egin y-2x=8 ken y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Gehitu -\frac{4x}{3} eta 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Gehitu -\frac{28}{3} eta -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-26$$

Ordeztu -26 x balioarekin y-2x=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Egin -2 bider -26.

$$y+52=8$$

Egin ken 52 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-44$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-44,x=-26$$