Resolver y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Ebatzi: y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$y+3x=60$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Gehitu \frac{x}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Ordeztu \frac{x}{3} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+3x=60).

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Gehitu \frac{x}{3} eta 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=18$$

Ordeztu 18 x balioarekin y=\frac{1}{3}x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Egin \frac{1}{3} bider 18.

$$y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=6,x=18$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$y+3x=60$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=6,x=18$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$y+3x=60$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Egin y+3x=60 ken y-\frac{1}{3}x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Gehitu -\frac{x}{3} eta -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=18$$

Ordeztu 18 x balioarekin y+3x=60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+3\times 18=60$$

Egin 3 bider 18.

$$y+54=60$$

Egin ken 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=6,x=18$$