Resolver x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Ebatzi: x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+5$$

Ordeztu y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+5y=7).

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Egin -4 bider y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Gehitu -4y eta 5y.

$$y-20=7$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=27$$

Ordeztu 27 y balioarekin x=y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=27+5$$

Gehitu 5 eta 27.

$$x=32$$

Ebatzi da sistema.

$$x=32,y=27$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=32,y=27$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Sinplifikatu.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Egin -4x+5y=7 ken -4x+4y=-20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-5y=-20-7$$

Gehitu 4y eta -5y.

$$-y=-20-7$$

Gehitu -20 eta -7.

$$-y=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=27$$

Ordeztu 27 y balioarekin -4x+5y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+5\times 27=7$$

Egin 5 bider 27.

$$-4x+135=7$$

Egin ken 135 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-128$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=32$$

Ebatzi da sistema.

$$x=32,y=27$$