Resolver x^2-x-1=0

$$x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Gehitu 1 eta 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{5} ken 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$x^{2}-x=1$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Gehitu 1 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$