Resolver x^2-22x+51<0

$$x ^ { 2 } - 22 x + 51 < 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(11-\sqrt{70},\sqrt{70}+11\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$x^{2}-22x+51=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -22 balioa b balioarekin, eta 51 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 1\times 51}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{22±2\sqrt{70}}{2}$$

Ebatzi x=\frac{22±2\sqrt{70}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\sqrt{70}+11 x=11-\sqrt{70}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$\left(x-\left(\sqrt{70}+11\right)\right)\left(x-\left(11-\sqrt{70}\right)\right)<0$$

Biderkadura negatiboa izan dadin, x-\left(\sqrt{70}+11\right) eta x-\left(11-\sqrt{70}\right) balioek kontrako zeinuak izan behar dituzte. Hartu kasua kontuan x-\left(\sqrt{70}+11\right) positiboa denean etax-\left(11-\sqrt{70}\right) negatiboa denean.

$$x-\left(\sqrt{70}+11\right)>0 x-\left(11-\sqrt{70}\right)<0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x-\left(11-\sqrt{70}\right) positiboa denean etax-\left(\sqrt{70}+11\right) negatiboa denean.

$$x-\left(11-\sqrt{70}\right)>0 x-\left(\sqrt{70}+11\right)<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left(11-\sqrt{70},\sqrt{70}+11\right) da.

$$x\in \left(11-\sqrt{70},\sqrt{70}+11\right)$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \left(11-\sqrt{70},\sqrt{70}+11\right)$$