Resolver x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$x^{2}-2x-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Biderkadura negatiboa izan dadin, x-\left(\sqrt{6}+1\right) eta x-\left(1-\sqrt{6}\right) balioek kontrako zeinuak izan behar dituzte. Hartu kasua kontuan x-\left(\sqrt{6}+1\right) positiboa denean etax-\left(1-\sqrt{6}\right) negatiboa denean.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x-\left(1-\sqrt{6}\right) positiboa denean etax-\left(\sqrt{6}+1\right) negatiboa denean.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right) da.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$