Resolver x^2-15x+120=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 120 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}\approx 7.5+7.984359711i$$

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}\approx 7.5-7.984359711i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-15x+120=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta 120 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 120}}{2}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 120}}{2}$$

Egin -4 bider 120.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-480}}{2}$$

Gehitu 225 eta -480.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-255}}{2}$$

Atera -255 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{255}i}{2}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta i\sqrt{255}.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{255} ken 15.

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-15x+120=0$$

Egin ken 120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-15x+120-120=-120$$

120 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-15x=-120$$

Zatitu -15 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-120+\frac{225}{4}$$

Gehitu -120 eta \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{255}{4}$$

Atera x^{2}-15x+\frac{225}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{255}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{255}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{255}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{255}i}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$