Resolver x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=6$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-13x+42 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-13 ab=42$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 42 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

-13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=-6$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+42 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 42 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

-13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=-6$$

Berridatzi x^{2}-13x+42 honela: \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -6 bigarren taldean.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -13 balioa b balioarekin, eta 42 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Egin -13 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Egin -4 bider 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Gehitu 169 eta -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 zenbakiaren aurkakoa 13 da.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{13±1}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 13 eta 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Zatitu 14 balioa 2 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{13±1}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Zatitu 12 balioa 2 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=6$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

42 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-13x=-42$$

Zatitu -13 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{13}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{13}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{13}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Gehitu -42 eta \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Atera x^{2}-13x+\frac{169}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{13}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=6$$