Resolver x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=4$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-11x+28 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=28$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 28 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=-4$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+28 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 28 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=-4$$

Berridatzi x^{2}-11x+28 honela: \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta 28 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Egin -11 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Egin -4 bider 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Gehitu 121 eta -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±3}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Zatitu 14 balioa 2 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±3}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Zatitu 8 balioa 2 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

28 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-11x=-28$$

Zatitu -11 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Gehitu -28 eta \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera x^{2}-11x+\frac{121}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{11}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=4$$