Resolver x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8.062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8.062257748i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 90 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Egin -4 bider 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Gehitu 100 eta -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Atera -260 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Zatitu 10+2i\sqrt{65} balioa 2 balioarekin.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{65} ken 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Zatitu 10-2i\sqrt{65} balioa 2 balioarekin.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Egin ken 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

90 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-10x=-90$$

Zatitu -10 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -5 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -5 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Egin -5 ber bi.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Gehitu -90 eta 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Atera x^{2}-10x+25 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Sinplifikatu.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$