Resolver x^2+13x-30=0

$$x ^ { 2 } + 13 x - 30 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-15$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}+13x-30 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=13 ab=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=15$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta x+15=0.

$$x=2 x=-15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-30 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=13 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=15$$

Berridatzi x^{2}+13x-30 honela: \left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 15 bigarren taldean.

$$x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta x+15=0.

$$x=2 x=-15$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 13 balioa b balioarekin, eta -30 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Egin 13 ber bi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-30\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2}$$

Gehitu 169 eta 120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2}$$

Atera 289 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-13±17}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±17}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -13 eta 17.

$$x=\frac{4}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±17}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 17 ken -13.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Zatitu -30 balioa 2 balioarekin.

$$x=-15$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-15$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}+13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

-30 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}+13x=-\left(-30\right)$$

Egin -30 ken 0.

$$x^{2}+13x=30$$

Zatitu 13 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{13}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{13}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{13}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=30+\frac{169}{4}$$

Gehitu 30 eta \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{289}{4}$$

Atera x^{2}+13x+\frac{169}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{17}{2}$$

Egin ken \frac{13}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-15$$