Resolver x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Ebazpidea

Egin ken x^{2}+11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

x^{2}+11 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

31 lortzeko, 42 balioari kendu 11.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

x^{2}+11 lortzeko, egin \sqrt{x^{2}+11} ber 2.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

\left(31-x^{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Kendu 961 bi aldeetatik.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

-950 lortzeko, 11 balioari kendu 961.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Gehitu 62x^{2} bi aldeetan.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

63x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 62x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Kendu x^{4} bi aldeetatik.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Ordeztu t balioa x^{2} balioarekin.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 63 balioa b balioarekin, eta -950 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Ebatzi t=\frac{-63±13}{-2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=25 t=38$$

x=t^{2} denez, t bakoitzarekin x=±\sqrt{t} ebaluatuz lortzen dira soluzioak.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Ordeztu 5 balioa x balioarekin x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 ekuazioan.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Sinplifikatu. x=5 balioak ekuazioa betetzen du.

$$42=42$$

Ordeztu -5 balioa x balioarekin x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 ekuazioan.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Sinplifikatu. x=-5 balioak ekuazioa betetzen du.

$$42=42$$

Ordeztu \sqrt{38} balioa x balioarekin x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 ekuazioan.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Sinplifikatu. x=\sqrt{38} balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$56=42$$

Ordeztu -\sqrt{38} balioa x balioarekin x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 ekuazioan.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Sinplifikatu. x=-\sqrt{38} balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$56=42$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$