Resolver x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(x^{2}-2x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Berrekizun bereko berreturak biderkatzeko, gehitu haien berretzaileak. 3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 4x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

11 lortzeko, gehitu 10 eta 1.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Egin x^{2}-2x-3 ber bi.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -2x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

14x lortzeko, konbinatu 2x eta 12x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

20 lortzeko, gehitu 11 eta 9.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kendu 20 bi aldeetatik.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

6x^{2} lortzeko, konbinatu 5x^{2} eta x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kendu 14x bi aldeetatik.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Kendu x^{4} bi aldeetatik.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{4} eta -x^{4}.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Gehitu 4x^{3} bi aldeetan.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

0 lortzeko, konbinatu -4x^{3} eta 4x^{3}.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=3$$

Berridatzi 3x^{2}-7x-10 honela: \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Deskonposatu x 3x^{2}-10x taldean.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Deskonposatu 3x-10 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-10=0 eta x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x^{2}-2x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Berrekizun bereko berreturak biderkatzeko, gehitu haien berretzaileak. 3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 4x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

11 lortzeko, gehitu 10 eta 1.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Egin x^{2}-2x-3 ber bi.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -2x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

14x lortzeko, konbinatu 2x eta 12x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

20 lortzeko, gehitu 11 eta 9.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kendu 20 bi aldeetatik.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

6x^{2} lortzeko, konbinatu 5x^{2} eta x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kendu 14x bi aldeetatik.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Kendu x^{4} bi aldeetatik.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{4} eta -x^{4}.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Gehitu 4x^{3} bi aldeetan.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

0 lortzeko, konbinatu -4x^{3} eta 4x^{3}.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Gehitu 196 eta 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Atera 676 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±26}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Murriztu \frac{40}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{10}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±26}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 26 ken 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Zatitu -12 balioa 12 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x^{2}-2x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Berrekizun bereko berreturak biderkatzeko, gehitu haien berretzaileak. 3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 4x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

11 lortzeko, gehitu 10 eta 1.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Egin x^{2}-2x-3 ber bi.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -2x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

14x lortzeko, konbinatu 2x eta 12x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

20 lortzeko, gehitu 11 eta 9.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

6x^{2} lortzeko, konbinatu 5x^{2} eta x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kendu 14x bi aldeetatik.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Kendu x^{4} bi aldeetatik.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{4} eta -x^{4}.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Gehitu 4x^{3} bi aldeetan.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

0 lortzeko, konbinatu -4x^{3} eta 4x^{3}.

$$6x^{2}-14x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Murriztu \frac{-14}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Murriztu \frac{20}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Zatitu -\frac{7}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Gehitu \frac{10}{3} eta \frac{49}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Gehitu \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$