Resolver x+y=12,y/x=-0.5

$$x + y = 12 , \frac { y } { x } = - 0.5$$

Ebatzi: x, y

$$x=24$$

$$y=-12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x.

$$y=-0.5x$$

Gehitu 0.5x bi aldeetan.

$$y+0.5x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=12,0.5x+y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=12$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+12$$

Ordeztu -y+12 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.5x+y=0).

$$0.5\left(-y+12\right)+y=0$$

Egin 0.5 bider -y+12.

$$-0.5y+6+y=0$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta y.

$$0.5y+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5y=-6$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin x=-y+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-12\right)+12$$

Egin -1 bider -12.

$$x=12+12$$

Gehitu 12 eta 12.

$$x=24$$

Ebatzi da sistema.

$$x=24,y=-12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x.

$$y=-0.5x$$

Gehitu 0.5x bi aldeetan.

$$y+0.5x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=12,0.5x+y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-0.5}&-\frac{1}{1-0.5}\\-\frac{0.5}{1-0.5}&\frac{1}{1-0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 12\\-12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=24,y=-12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x.

$$y=-0.5x$$

Gehitu 0.5x bi aldeetan.

$$y+0.5x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=12,0.5x+y=0$$

Egin 0.5x+y=0 ken x+y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-0.5x+y-y=12$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-0.5x=12$$

Gehitu x eta -\frac{x}{2}.

$$0.5x=12$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=24$$

Ordeztu 24 x balioarekin 0.5x+y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.5\times 24+y=0$$

Egin 0.5 bider 24.

$$12+y=0$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=24,y=-12$$