Resolver x+2y=7,3x+5y=15

$$x + 2 y = 7,3 x + 5 y = 15$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=7,3x+5y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=7$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+7$$

Ordeztu -2y+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+5y=15).

$$3\left(-2y+7\right)+5y=15$$

Egin 3 bider -2y+7.

$$-6y+21+5y=15$$

Gehitu -6y eta 5y.

$$-y+21=15$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=-2y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 6+7$$

Egin -2 bider 6.

$$x=-12+7$$

Gehitu 7 eta -12.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=7,3x+5y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 7+2\times 15\\3\times 7-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=7,3x+5y=15$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x+5y=15$$

Sinplifikatu.

$$3x+6y=21,3x+5y=15$$

Egin 3x+5y=15 ken 3x+6y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+6y-5y=21-15$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-5y=21-15$$

Gehitu 6y eta -5y.

$$y=21-15$$

Gehitu 21 eta -15.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 3x+5y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+5\times 6=15$$

Egin 5 bider 6.

$$3x+30=15$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=6$$