Resolver x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$9x-2y=12$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=12$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+12$$

Ordeztu -2y+12 balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-2y=12).

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

Egin 9 bider -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

Gehitu -18y eta -2y.

$$-20y+108=12$$

Egin ken 108 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-20y=-96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=\frac{24}{5}$$

Ordeztu \frac{24}{5} y balioarekin x=-2y+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

Egin -2 bider \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Gehitu 12 eta -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$9x-2y=12$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$9x-2y=12$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Sinplifikatu.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

Egin 9x-2y=12 ken 9x+18y=108 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Gehitu 9x eta -9x. Sinplifikatu egiten dira 9x eta -9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y+2y=108-12$$

Gehitu 18y eta 2y.

$$20y=108-12$$

Gehitu 108 eta -12.

$$20y=96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=\frac{24}{5}$$

Ordeztu \frac{24}{5} y balioarekin 9x-2y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

Egin -2 bider \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Gehitu \frac{48}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{108}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{12}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$