Resolver u^2-2/3u=5/4

$$u ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } u = \frac { 5 } { 4 }$$

Ebatzi: u

$$u=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$u = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u=\frac{5}{4}$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{5}{4}$$

\frac{5}{4} balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u-\frac{5}{4}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -\frac{2}{3} balioa b balioarekin, eta -\frac{5}{4} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$u=\frac{-\left(-\frac{2}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{4}\right)}}{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$u=\frac{-\left(-\frac{2}{3}\right)±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{5}{4}\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -\frac{5}{4}.

$$u=\frac{-\left(-\frac{2}{3}\right)±\sqrt{\frac{4}{9}+5}}{2}$$

Gehitu \frac{4}{9} eta 5.

$$u=\frac{-\left(-\frac{2}{3}\right)±\sqrt{\frac{49}{9}}}{2}$$

Atera \frac{49}{9} balioaren erro karratua.

$$u=\frac{-\left(-\frac{2}{3}\right)±\frac{7}{3}}{2}$$

-\frac{2}{3} zenbakiaren aurkakoa \frac{2}{3} da.

$$u=\frac{\frac{2}{3}±\frac{7}{3}}{2}$$

Orain, ebatzi u=\frac{\frac{2}{3}±\frac{7}{3}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{7}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi u=\frac{\frac{2}{3}±\frac{7}{3}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{7}{3} ken \frac{2}{3} izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=-\frac{\frac{5}{3}}{2}$$

Zatitu -\frac{5}{3} balioa 2 balioarekin.

$$u=-\frac{5}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$u=\frac{3}{2} u=-\frac{5}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u=\frac{5}{4}$$

Zatitu -\frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u+\frac{1}{9}=\frac{5}{4}+\frac{1}{9}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u^{2}-\frac{2}{3}u+\frac{1}{9}=\frac{49}{36}$$

Atera u^{2}-\frac{2}{3}u+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(u-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(u-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$u-\frac{1}{3}=\frac{7}{6} u-\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$u=\frac{3}{2} u=-\frac{5}{6}$$