Resolver t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Ebatzi: t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu t^{2}-24t-180 formula hau erabilita: t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-24 ab=-180$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -180 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-24 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-30 b=6$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(t+a\right)\left(t+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-30=0 eta t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, t^{2}+at+bt-180 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -180 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-24 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-30 b=6$$

Berridatzi t^{2}-24t-180 honela: \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Deskonposatu t lehen taldean, eta 6 bigarren taldean.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Deskonposatu t-30 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-30=0 eta t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta -180 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Egin -24 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Gehitu 576 eta 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Atera 1296 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

-24 zenbakiaren aurkakoa 24 da.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Orain, ebatzi t=\frac{24±36}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 24 eta 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Zatitu 60 balioa 2 balioarekin.

$$t=30$$

Orain, ebatzi t=\frac{24±36}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 36 ken 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Zatitu -12 balioa 2 balioarekin.

$$t=-6$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=30 t=-6$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Gehitu 180 ekuazioaren bi aldeetan.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

-180 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Egin -180 ken 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Zatitu -24 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -12 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -12 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Egin -12 ber bi.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Gehitu 180 eta 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Atera t^{2}-24t+144 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Sinplifikatu.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=30 t=-6$$