Resolver t^2+5t-24=0

$$t ^ { 2 } + 5 t - 24 = 0$$

Ebatzi: t

$$t=-8$$

$$t=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu t^{2}+5t-24 formula hau erabilita: t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=-24$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=8$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(t+a\right)\left(t+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-3=0 eta t+8=0.

$$t=3 t=-8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, t^{2}+at+bt-24 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=8$$

Berridatzi t^{2}+5t-24 honela: \left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right).

$$\left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right)$$

Deskonposatu t lehen taldean, eta 8 bigarren taldean.

$$t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

Deskonposatu t-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-3=0 eta t+8=0.

$$t=3 t=-8$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Egin 5 ber bi.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -24.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

Gehitu 25 eta 96.

$$t=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-5±11}{2}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-5±11}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta 11.

$$t=\frac{6}{2}$$

Zatitu 6 balioa 2 balioarekin.

$$t=3$$

Orain, ebatzi t=\frac{-5±11}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken -5.

$$t=-\frac{16}{2}$$

Zatitu -16 balioa 2 balioarekin.

$$t=-8$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=3 t=-8$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$t^{2}+5t-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$t^{2}+5t=-\left(-24\right)$$

Egin -24 ken 0.

$$t^{2}+5t=24$$

Zatitu 5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}+5t+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Gehitu 24 eta \frac{25}{4}.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Atera t^{2}+5t+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$t+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} t+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=3 t=-8$$