Resolver n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Ebatzi: n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu n^{2}-n-210 formula hau erabilita: n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -210 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=14$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(n+a\right)\left(n+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-15=0 eta n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, n^{2}+an+bn-210 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -210 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=14$$

Berridatzi n^{2}-n-210 honela: \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Deskonposatu n lehen taldean, eta 14 bigarren taldean.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Deskonposatu n-15 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-15=0 eta n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$n^{2}-n-210=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -210 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Gehitu 1 eta 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Atera 841 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Orain, ebatzi n=\frac{1±29}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Zatitu 30 balioa 2 balioarekin.

$$n=15$$

Orain, ebatzi n=\frac{1±29}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 29 ken 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Zatitu -28 balioa 2 balioarekin.

$$n=-14$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=15 n=-14$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$n^{2}-n-210=0$$

Gehitu 210 ekuazioaren bi aldeetan.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Egin -210 ken 0.

$$n^{2}-n=210$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Gehitu 210 eta \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Atera n^{2}-n+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=15 n=-14$$