Resolver n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Ebatzi: n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu n^{2}-11n-60 formula hau erabilita: n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=4$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(n+a\right)\left(n+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-15=0 eta n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, n^{2}+an+bn-60 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=4$$

Berridatzi n^{2}-11n-60 honela: \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Deskonposatu n lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Deskonposatu n-15 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-15=0 eta n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta -60 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Egin -11 ber bi.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Gehitu 121 eta 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Orain, ebatzi n=\frac{11±19}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Zatitu 30 balioa 2 balioarekin.

$$n=15$$

Orain, ebatzi n=\frac{11±19}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Zatitu -8 balioa 2 balioarekin.

$$n=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=15 n=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Egin -60 ken 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Zatitu -11 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Gehitu 60 eta \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Atera n^{2}-11n+\frac{121}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Gehitu \frac{11}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=15 n=-4$$