Resolver f(x)=2x^2+x=1

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x = 1$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-1 b=2$$

Berridatzi 2x^{2}+x-1 honela: \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Deskonposatu x 2x^{2}-x taldean.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Deskonposatu 2x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-1=0 eta x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+x=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+x-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Gehitu 1 eta 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±3}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Murriztu \frac{2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±3}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$