Resolver f^prime(x)=-ax^2-2bx+ac/(x^2+c)^2

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - a x ^ { 2 } - 2 b x + a c } { ( x ^ { 2 } + c ) ^ { 2 } }$$

Ebatzi: a

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{2bx}{x^{2}-c}\text{, }&|c|\neq x^{2}\\a\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }c=x^{2}\text{ and }x\neq 0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: \left(x^{2}+c\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{2}+c\right)^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

\left(x^{2}+c\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{4}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Erabili banaketa-propietatea \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x eta x^{4}+2x^{2}c+c^{2} biderkatzeko.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}$$

Gehitu 2bx bi aldeetan.

$$\left(-a\right)x^{2}+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}+2bx$$

Berrantolatu gaiak.

$$-ax^{2}+ac=x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2cx^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+xc^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2bx$$

Konbinatu a duten gai guztiak.

$$\left(-x^{2}+c\right)a=x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2cx^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+xc^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2bx$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\left(c-x^{2}\right)a=2bx$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -x^{2}+c balioarekin.

$$\frac{\left(c-x^{2}\right)a}{c-x^{2}}=\frac{2bx}{c-x^{2}}$$

-x^{2}+c balioarekin zatituz gero, -x^{2}+c balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a=\frac{2bx}{c-x^{2}}$$

Ebatzi: b

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{a\left(c-x^{2}\right)}{2x}\text{, }&x\neq 0\text{ and }c\neq -x^{2}\\b\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }x=0\text{ and }c\neq 0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: \left(x^{2}+c\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{2}+c\right)^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

\left(x^{2}+c\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{4}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Erabili banaketa-propietatea \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x eta x^{4}+2x^{2}c+c^{2} biderkatzeko.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}$$

Kendu \left(-a\right)x^{2} bi aldeetatik.

$$-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}-\left(-a\right)x^{2}$$

Kendu ac bi aldeetatik.

$$-2bx=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}-\left(-a\right)x^{2}-ac$$

1 lortzeko, biderkatu -1 eta -1.

$$-2bx=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}+ax^{2}-ac$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\left(-2x\right)b=ax^{2}-ac$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2x balioarekin.

$$\frac{\left(-2x\right)b}{-2x}=\frac{a\left(x^{2}-c\right)}{-2x}$$

-2x balioarekin zatituz gero, -2x balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b=\frac{a\left(x^{2}-c\right)}{-2x}$$

Zatitu a\left(x^{2}-c\right) balioa -2x balioarekin.

$$b=-\frac{ax}{2}+\frac{ac}{2x}$$