Resolver a-4b=2;5a=3b-7

$$a - 4 b = 2 ; 5 a = 3 b - 7$$

Ebatzi: a, b

$$a=-2$$

$$b=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3b bi aldeetatik.

$$5a-3b=-7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a-4b=2$$

Gehitu 4b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=4b+2$$

Ordeztu 4b+2 balioa a balioarekin beste ekuazioan (5a-3b=-7).

$$5\left(4b+2\right)-3b=-7$$

Egin 5 bider 4b+2.

$$20b+10-3b=-7$$

Gehitu 20b eta -3b.

$$17b+10=-7$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17b=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$b=-1$$

Ordeztu -1 b balioarekin a=4b+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=4\left(-1\right)+2$$

Egin 4 bider -1.

$$a=-4+2$$

Gehitu 2 eta -4.

$$a=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-2,b=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3b bi aldeetatik.

$$5a-3b=-7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{-3-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-4\times 5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\\-\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 2+\frac{4}{17}\left(-7\right)\\-\frac{5}{17}\times 2+\frac{1}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-2,b=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3b bi aldeetatik.

$$5a-3b=-7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

a eta 5a berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5a+5\left(-4\right)b=5\times 2,5a-3b=-7$$

Sinplifikatu.

$$5a-20b=10,5a-3b=-7$$

Egin 5a-3b=-7 ken 5a-20b=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5a-5a-20b+3b=10+7$$

Gehitu 5a eta -5a. Sinplifikatu egiten dira 5a eta -5a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-20b+3b=10+7$$

Gehitu -20b eta 3b.

$$-17b=10+7$$

Gehitu 10 eta 7.

$$-17b=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$b=-1$$

Ordeztu -1 b balioarekin 5a-3b=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$5a-3\left(-1\right)=-7$$

Egin -3 bider -1.

$$5a+3=-7$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5a=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$a=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-2,b=-1$$