Resolver a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Ebatzi: a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$a^{2}-68a+225=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -68 balioa b balioarekin, eta 225 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Ebatzi a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Biderkadura ≤0 izan dadin, a-\left(7\sqrt{19}+34\right) eta a-\left(34-7\sqrt{19}\right) balioetako bat ≥0 izan behar da, eta bestea ≤0 izan behar da. Hartu kasua kontuan a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 eta a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Hori beti gezurra da a guztien kasuan.

$$a\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 eta a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right] da.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$