Resolver Y^2-7Y+10=0

$$Y ^ { 2 } - 7 Y + 10 = 0$$

Ebatzi: Y

$$Y=2$$

$$Y=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu Y^{2}-7Y+10 formula hau erabilita: Y^{2}+\left(a+b\right)Y+ab=\left(Y+a\right)\left(Y+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=10$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-10 -2,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=-2$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(Y+a\right)\left(Y+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi Y-5=0 eta Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, Y^{2}+aY+bY+10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-10 -2,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=-2$$

Berridatzi Y^{2}-7Y+10 honela: \left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right).

$$\left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right)$$

Deskonposatu Y lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$Y\left(Y-5\right)-2\left(Y-5\right)$$

Deskonposatu Y-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi Y-5=0 eta Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10}}{2}$$

Egin -7 ber bi.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

Egin -4 bider 10.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2}$$

Gehitu 49 eta -40.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±3}{2}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$Y=\frac{7±3}{2}$$

Orain, ebatzi Y=\frac{7±3}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 3.

$$Y=\frac{10}{2}$$

Zatitu 10 balioa 2 balioarekin.

$$Y=5$$

Orain, ebatzi Y=\frac{7±3}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken 7.

$$Y=\frac{4}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$Y=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$Y=5 Y=2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$Y^{2}-7Y+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$Y^{2}-7Y=-10$$

Zatitu -7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$Y^{2}-7Y+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Gehitu -10 eta \frac{49}{4}.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera Y^{2}-7Y+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$Y-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} Y-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$Y=5 Y=2$$