Resolver 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

8y^{2} lortzeko, konbinatu 9y^{2} eta -y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2y^{2}+ay+by+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-2 b=-1$$

Berridatzi 2y^{2}-3y+1 honela: \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Deskonposatu 2y lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Deskonposatu y-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-1=0 eta 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

8y^{2} lortzeko, konbinatu 9y^{2} eta -y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Egin -12 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Gehitu 144 eta -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Atera 16 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Orain, ebatzi y=\frac{12±4}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Zatitu 16 balioa 16 balioarekin.

$$y=1$$

Orain, ebatzi y=\frac{12±4}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 4 ken 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Murriztu \frac{8}{16} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

8y^{2} lortzeko, konbinatu 9y^{2} eta -y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Murriztu \frac{-12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Murriztu \frac{-4}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Atera y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$