Resolver 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Ebatzi: y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Egin -12 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Gehitu 144 eta -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Atera 72 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Orain, ebatzi y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Zatitu 12+6\sqrt{2} balioa 18 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Orain, ebatzi y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 6\sqrt{2} ken 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Zatitu 12-6\sqrt{2} balioa 18 balioarekin.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Murriztu \frac{-12}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Gehitu -\frac{2}{9} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Atera y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$