Resolver 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0.277777778+0.606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0.277777778-0.606039562i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Gehitu 25 eta -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Atera -119 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{119} ken 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Zatitu -\frac{5}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{18} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{18} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{18} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Gehitu -\frac{4}{9} eta \frac{25}{324} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Gehitu \frac{5}{18} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$