Resolver 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0.743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0.298935084$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

Gehitu 16 eta 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

Atera 88 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

Zatitu 4+2\sqrt{22} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{22} ken 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

Zatitu 4-2\sqrt{22} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

Egin -2 ken 0.

$$9x^{2}-4x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

Zatitu -\frac{4}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{9} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{9} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

Gehitu \frac{2}{9} eta \frac{4}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

Gehitu \frac{2}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$